Question

在等差数列{a_n}中，a₁=3，其前n项和为S_n，等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，公比为q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

．
（1）求a_n与b_n；
（2）设数列{c_n}满足c_n=|b_n-a₅|，求{c_n}的前项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，由已知条件，列出方程组，分别求出等差数列的公差和等比数列的公比，由此能求出a_n与b_n．
（2）由（1）及c_n=|b_n-a₅|，推导出c_n=|3^n-1-15|=

15-3n-1，n≤3 3n-1-15，n≥4

，由此利用分组求和法能求出{c_n}的前项和T_n．

解答： （本题满分14分）
解：（1）∵等比数列{b_n}的各项均为正数，b₁=1，
公比为q，且b₂+S₂=12，q=

S2

b2

，等差数列{a_n}中，a₁=3，
∴

b2+s2=12 q= s2 b2

，即

q+6+d=12 q= 6+d q

，解得q=3，或q=-4（舍），d=3，
∴a_n=3n，bn=3n-1（7分）
（2）∵c_n=|b_n-a₅|，
∴c_n=|3^n-1-15|=

15-3n-1，n≤3 3n-1-15，n≥4

，
∴当n≤3时，Tn=15n-

1×(1-3n)

1-3

=-

3n

2

+15n+

1

2

，
当n≥4时，T_n=

1×(1-3n)

1-3

-15n+2T₃=

3n

2

-15n+

127

2

．
∴Tn=

- 3n 2 +15n+ 1 2 ，n≤3 3n 2 -15n+ 127 2 ，n≥4

．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意公组求和法的合理运用．