Question

15．函数y=$\frac{1+sin2x}{sinx+cosx}$的最大值为$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 直接利用换元法，通过三角函数的有界性，转化函数为二次函数，即可得出．

解答 解：由题意，设sinx+cosx=t，
∵sinx+cosx=$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）=t，
∴$-\sqrt{2}$≤t$≤\sqrt{2}$，且t≠0．
那么：sin2x=t²-1
函数y转化为：f（t）=$\frac{1+{t}^{2}-1}{t}=t$，（$-\sqrt{2}$≤t$≤\sqrt{2}$，且t≠0）
∴f（t）的最大值为：$\sqrt{2}$，即函数y的最大值为$\sqrt{2}$．
故答案为：$\sqrt{2}$．

点评 本题考查三角函数的有界性，二倍角的运用，考查转化思想以及计算能力．