Question

3．已知一个平放的正三棱锥型容器的各棱长为6，其内有一小球O（不计重量），现从正三棱锥型容器的顶端向内注水，球慢慢上浮，若注入的水的体积是正三棱锥体积的$\frac{7}{8}$时，球与正三棱锥各侧面均相切（与水面也相切），则球的表面积等于（　　）

• A． π
• B． $\frac{3}{2}$π
• C． $\frac{4}{3}$π
• D． $\frac{7}{6}$π

Answer 1

分析 先求出没有水的部分的体积，再求出棱长为3，可得小球的半径，即可求出球的表面积．

解答 解：由题意，没有水的部分的体积是正三棱锥体积的$\frac{1}{8}$，
∵正三棱锥的各棱长均为6，
∴正三棱锥体积为$\frac{1}{3}$×9$\sqrt{3}$×$\sqrt{36-12}$=18$\sqrt{2}$，
没有水的部分的体积是：$\frac{9}{4}$$\sqrt{2}$，
设其棱长为a，则 $\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$a²×$\frac{\sqrt{6}}{3}$a=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，
∴a=3，
设小球的半径为r，则4×$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×3²r=$\frac{9\sqrt{2}}{4}$，
∴r=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴球的表面积S=4π•$\frac{3}{8}$=$\frac{3}{2}$π．
故选：B．

点评 本题考查球的表面积，考查体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，正确求出半径是关键．