Question

16．已知△ABC，存在△A₁B₁C₁，满足$\frac{cosA}{sin{A}_{1}}$=$\frac{cosB}{sin{B}_{1}}$=$\frac{cosC}{sin{C}_{1}}$，则称△A₁B₁C₁是△ABC的一个“友好”三角形．
（1）在满足下列条件的三角形中，存在“友好：三角形的是②；（请写出符合要求的条件的序号）
①A=90°，B=60°，C=30°；
②A=75°，B=60°，C=45°；
③A=75°，B=75°，C=30°
（2）若△ABC存在”友好“三角形，且A=70°，则另外两个角的度数分别为65°，45°．

Answer 1

分析 （1）假设存在友好三角形，根据新定义得出结论，
（2）利用正弦定理和新定义得出A₁，B₁，C₁与B的关系，根据内角和得出方程，解出B．

解答 解：（1）①若存在友好三角形，则$\frac{0}{sin{A}_{1}}=\frac{\frac{1}{2}}{sin{A}_{2}}$，显然不成立，故①不存在友好三角形．
②若存在友好三角形，则$\frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{sin{A}_{1}}=\frac{\frac{1}{2}}{sin{A}_{2}}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{sin{A}_{3}}$，∴a₁：b₁：c₁=sinA₁：sinA₂：sinA₃=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$：2：2$\sqrt{2}$．∴a₁+b₁=$\sqrt{6}-\sqrt{2}+2$＞2$\sqrt{2}$，
③若存在友好三角形，则$\frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{sin{A}_{1}}=\frac{\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{sin{A}_{2}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{sin{A}_{3}}$，∴a₁：b₁：c₁=sinA₁：sinA₂：sinA₃=$\sqrt{6}-\sqrt{2}$：$\sqrt{6}-\sqrt{2}$：2$\sqrt{3}$．∴a₁+b₁=2（$\sqrt{6}$-$\sqrt{2}$）＜2$\sqrt{3}$．与三角形两根之和大于第三边矛盾．故③不存在友好三角形．
综上，存在友好三角形的是②．
（2）C=180°-70°-B=110°-B．
∴$\frac{cos70°}{sin{A}_{1}}=\frac{cosB}{sin{B}_{1}}=\frac{cos（110°-B）}{sin{C}_{1}}$，即$\frac{sin20°}{sin{A}_{1}}=\frac{sin（90°-B）}{sin{B}_{1}}=\frac{sin（B-20°）}{sin{C}_{1}}$，∴$\frac{sin20°}{{a}_{1}}=\frac{sin（90°-B）}{{b}_{1}}=\frac{sin（B-20°）}{{c}_{1}}$，
∵$\frac{sin{A}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{sin{B}_{1}}{{b}_{1}}=\frac{sin{C}_{1}}{{c}_{1}}$，∴sinA₁=sin20°，sinB₁=sin（90°-B），sinC₁=sin（B-20°），
∴A₁=20°或160°，B₁=90°-B，或B₁=90°+B，C₁=B-20°或200°-B．
∵A₁+B₁+C₁=180°，∴20°+90°-B+200°-B=180°，或20°+90°+B+B-20°=180°，解得B=65°，或者B=45°．
∴C=45°，或C=65°．
故答案为65°，45°．

点评 本题考查了正弦定理及三角形的相关知识，属于中档题．