Question

已知函数f（x）=（

1

3

）^x，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，数列{b_n}{b_n＞0}的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{

1

bnbn+1

}前n项和为T_n，问使T_n＞

1005

2014

的最小正整数n是多少？

Answer 1

考点：等差数列与等比数列的综合,数列的求和,数列递推式

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）利用n≥2时，a_n=[f（n）-c]-[f（n-1）-c]，求数列{a_n}的通项公式；确定{

Sn

}是首项为1，公差为1的等差数列，可求{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）利用裂项法求数列的和，结合T_n＞

1005

2014

，可求最小正整数n的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=（

1

3

）^x，等比数列{a_n}的前n项和为f（n）-c，
∴n≥2时，a_n=[f（n）-c]-[f（n-1）-c]=-

2

3n

，
∴等比数列{a_n}的公比为q=

1

3

，
∴c=1，a₁=-

2

3

，
∴a_n=-

2

3n

；
∵数列{b_n}{b_n＞0}的首项为c，且前n项和S_n满足S_n-S_n-1=

Sn

+

Sn-1

（n≥2）．
∴b₁=1，

Sn

-

Sn-1

=1，
∴{

Sn

}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴

Sn

=n，
∴S_n=n²，
∴n≥2时，b_n=S_n-S_n-1=2n-1，
∵b₁=1，
∴b_n=2n-1；
（Ⅱ）

1

bnbn+1

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

），
∴T_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-1

-

1

2n+1

）=

1

2

（1-

1

2n+1

）=

n

2n+1

，
由T_n＞

1005

2014

，得

n

2n+1

＞

1005

2014

，解得n＞251.25
∴T_n＞

1005

2014

的最小正整数n是252．

点评：本题考查数列的通项与求和，考查裂项法的运用，掌握数列通项的特点，选择正确的求和方法是关键．