Question

如图，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）均在抛物线上．
（1）求该抛物线方程；
（2）若AB的中点坐标为（1，-1），求直线AB方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由题意设出抛物线方程，代入P点坐标求p，则抛物线方程可求；
（2）把A，B的坐标代入抛物线方程，作差后结合AB的中点坐标求出AB所在直线的斜率，由点斜式得AB所在直线方程．

解答： 解：（1）由题意可设抛物线方程为y²=2px（p＞0），
∵P（1，2）在抛物线上，
∴2²=2p，即p=2．
∴抛物线方程为：y²=4x；
（2）∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线上，
∴y12=4x1，y22=4x2．
两式作差得：（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂），

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

．
又AB的中点坐标为（1，-1），
∴y₁+y₂=-2，
则kAB=

y1-y2

x1-x2

=

4

-2

=-2．
∴直线AB方程为y+1=-2（x-1），
即2x+y-1=0．

点评：本题考查了抛物线方程的求法，训练了利用“点差法”求直线的斜率，涉及中点弦问题常用此法解决，是中档题．