Question

14．设函数f（x）=ax³+3x-1（x∈R），若对于任意的x∈[0，1]都有f（x）≤0成立，则实数a的取值范围是（-∞，-4]．

Answer 1

分析 对x讨论，当x=0，a∈R，
当x∈（0，1]时，f（x）=ax³+3x-1≤0可化为a≤$\frac{1}{{x}^{3}}-\frac{3}{{x}^{2}}$
令g（x）=$\frac{1}{{x}^{3}}-\frac{3}{{x}^{2}}$，利用导数求出g（x）最小值即可．

解答 解：若x=0，则不论a取何值，f（x）≤0都成立；
当x∈（0，1]时，f（x）=ax³+3x-1≤0可化为：a≤$\frac{1}{{x}^{3}}-\frac{3}{{x}^{2}}$
令g（x）=$\frac{1}{{x}^{3}}-\frac{3}{{x}^{2}}$，g′（x）=$\frac{3（2x-1）}{{x}^{4}}$
所以g（x）在区间（0，$\frac{1}{2}$]上单调递减，在区间[$\frac{1}{2}$，1]上单调递增，
因此g（x）_min=g（$\frac{1}{2}$）=-4，从而a≤-4；
即有实数a的取值范围为（-∞，-4]．
 故答案为：{-∞，-4]

点评 本题考查不等式恒成立问题，解题时要认真审题，分离参数法是处理恒成立的常见方法，属于中档题．