Question

已知方程lgax•lgax²=4的所有解都大于1，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数的零点与方程根的关系

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：化简方程，利用换元法设y=lgx，lga=b，求出b的取值范围，得a的取值范围．

解答： 解：（lgax）（lgax²）=4，
（lgx+lga）（2lgx+lga）-4=0，
设y=lgx，lga=b，
（lgx+lga）（2lgx+lga）-4=（y+b）（2y+b）-4=0，
（y+b）（2y+b）-4=2y²+3by+（b²-4）=0，
方程（lgax）（lgax^2）=4的所有解都大于1，则2y²+3by+（b²-4）=0的所有解都大于0，
则

-3b

2

＞0，且

b2-4

2

＞0且（3b）²-4×2×（b²-4）≥0；
联立解得b＜-2．
所以lga＜-2，
所以a的取值范围为0＜a＜

1

100

．

点评：本题考查了方程解的范围判断，属于中档题．