Question

过双曲线上任一点分别作两条渐近线的平行线，证明：这两条与渐近线所围成的平行四边形的面积为定值．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），渐近线方程为l₁：y=

b

a

x，l₂：y=-

b

a

x，求出平行线PM，PN的方程，求出交点M，及平行线l₁，PN之间的距离，运用平行四边形的面积公式，化简整理，再由P在双曲线上，满足双曲线方程，即可得证．

解答： 证明：设双曲线方程为：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0），
渐近线方程为l₁：y=

b

a

x，l₂：y=-

b

a

x，
设点P（m，n），这两条平行线与渐近线所围成的平行四边形为PMON，
则直线PN：y=

b

a

x+n-

b

a

m，
直线PM：y=-

b

a

x+n+

b

a

m，
由直线l₁和直线PM，解得交点M（

an+bm

2b

，

an+bm

2a

）．
平行线l₁，PN之间的距离为

|n- b a m|

1+ b2 a2

=

|an-bm|

c

，
则平行四边形的面积为

|an-bm|

c

•

( an+bm 2b )2+( an+mb 2a )2

=

|an-bm|

c

•

|acn+bcm|

2ab

=

|a2n2-b2m2|

2ab

，
由于P在双曲线上，则

m2

a2

-

n2

b2

=1，即有b²m²-a²n²=a²b²，
则平行四边形的面积为

a2b2

2ab

=

ab

2

，即为定值．

点评：本题考查双曲线的方程和性质：渐近线方程，考查两直线平行的位置，以及距离公式，考查运算化简能力，属于中档题．