Question

8．已知直线l过点（1，0）且倾斜角为α，在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M的方程为ρsin²θ+4cosθ=0．
（1）写出曲线M的直角坐标方程及直线l的参数方程；
（2）若直线l与曲线M只有一个公共点，求倾斜角α的值．

Answer 1

分析 （1）利用x=ρcosθ，y=ρsinθ，即可得出M的直角坐标方程；利用直线l过点（1，0）且倾斜角为α，可得直线l的参数方程；
（2）设直线方程为y=k（x-1），代入y²=-4x，可得k²x²-（2k²-4）x+k²=0，分类讨论，利用直线l与曲线M只有一个公共点，求倾斜角α的值．

解答 解：（1）x=ρcosθ，y=ρsinθ，
由ρsin²θ+4cosθ=0得ρ²sin²θ=-4ρcosθ．
∴y²=-4x即为曲线M的直角坐标方程； 
直线l过点（1，0）且倾斜角为α，故直线l的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=1+tcosα}\\{y=tsinα}\end{array}\right.$（t为参数）；
（2）设直线方程为y=k（x-1），代入y²=-4x，可得k²x²-（2k²-4）x+k²=0
①k=0，y=0，满足题意，α=0；
②$\left\{\begin{array}{l}{k≠0}\\{（2{k}^{2}-4）^{2}-4{k}^{4}=0}\end{array}\right.$，∴k=±1，∴α=$\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}$．

点评 本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．