Question

5．在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的左焦点，点P在椭圆上，直线PF与以OF为直径的圆相交于点M（异于点F），若点M为PF的中点，且直线PF的斜率为$\sqrt{3}$，则椭圆的离心率为$\sqrt{3}$-1．

Answer 1

分析 由C为OF的中点，则OM为△FOP的中位线，丨OP丨=2丨OM丨=c，∠PFO=60°，△FPO为等边三角形，边长为c，P（-$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），代入椭圆方程：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，由b²=a²-c²，e=$\frac{c}{a}$，0＜e＜1，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：由题意可知：C为OF的中点，则OM为△FOP的中位线，
丨OP丨=2丨OM丨=2丨OC丨=丨OF丨=c，
且直线PF的斜率为$\sqrt{3}$，则∠PFO=60°，
∴△FPO为等边三角形，边长为c，
则P（-$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），代入椭圆方程：$\frac{{c}^{2}}{4{a}^{2}}$+$\frac{3{c}^{2}}{4{b}^{2}}$=1，
由b²=a²-c²，e=$\frac{c}{a}$，
则e⁴-8e²+4=0，解得：e²=4±2$\sqrt{3}$，
由0＜e＜1，
解得：e=$\sqrt{3}$-1，
椭圆的离心率$\sqrt{3}$-1，
故答案为：$\sqrt{3}$-1．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，三角形中位线的性质，考查数形结合思想，属于中档题．