Question

16．直线l过抛物线C：y²=4x的焦点F交抛物线C于A、B两点，则$\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}$的取值范围为（　　）

• A． {1}
• B． （0，1]
• C． [1，+∞）
• D． $[{\frac{1}{2}，1}]$

Answer 1

分析 根据抛物线方程可求得焦点坐标和准线方程，设过F的直线方程，与抛物线方程联立，整理后，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根据韦达定理可求得x₁x₂的值，又根据抛物线定义可知|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1代入$\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}$答案可得．

解答 解：易知F坐标（1，0）准线方程为x=-1．
设过F点直线方程为y=k（x-1）
代入抛物线方程，得 k²（x-1）²=4x．
化简后为：k²x²-（2k²+4）x+k²=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则有x₁x₂=1，
根据抛物线性质可知，|AF|=x₁+1，|BF|=x₂+1，
∴$\frac{1}{{|{AF}|}}+\frac{1}{{|{BF}|}}$=$\frac{1}{{x}_{1}+1}$+$\frac{1}{{x}_{2}+1}$=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+2}{{x}_{1}+{x}_{2}+2}$=1，
故选A．

点评 本题主要考查抛物线的应用和抛物线定义．对于过抛物线焦点的直线与抛物线关系，常用抛物线的定义来解决．