Question

已知函数f（x）=|x+1|-|x|+a．
（1）若a=0，求不等式f（x）≥0的解集；
（2）若不等式f（x）≤2恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式

分析：（1）将a=0代入函数的表达式|x+1|≥|x|，两边平方解出即可；（2）通过讨论x≤-1时，-1＜x≤0时，x＞0时的情况，从而求出a的范围．

解答： 解：（1）若a=0，则f（x）=|x+1|-|x|≥0，
∴|x+1|≥|x|，
∴（x+1）²≥x²，解得：x≥-

1

2

，
∴不等式f（x）≥0的解集是{x|x≥-

1

2

}；
（2）x≤-1时，f（x）=a-1≤2，解得：a≤3①，
-1＜x≤0时，f（x）=2x+1+a≤2，
∴a≤1-2x在（-1，0]恒成立，
而函数y=1-2x在（-1，0]的最小值是1，
∴a≤1②，
x＞0时，f（x）=x+1-x+a≤2，解得：a≤1③，
综合①②③得：a≤1．

点评：本题考查了绝对值不等式的解法，考查了函数恒成立问题，考查了分类讨论思想，是一道中档题．