Question

已知椭圆

y2

75

+

x2

25

=1，求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出P，A，B的坐标，得到三点坐标的关系，把A，B的坐标代入椭圆方程后作差，代入直线l的斜率整理后即可得到答案；

解答： 解：设P（x，y），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵P为弦AB的中点，∴x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y．
则

y12

75

+

x12

25

=1，①

y22

75

+

x22

25

=1，②
②-①得，

y2-y1

x2-x1

=-

3(x1+x2)

y1+y2

．
∴-

3x

y

=3，整理得：x+y=0．
由

x+y=0 y2 75 + x2 25 =1

，解得x=±

5 3

2

所求轨迹方程为：x+y=0．（-

5 3

2

＜x＜

5 3

2

）
∴点P的轨迹方程为：x+y=0（-

5 3

2

＜x＜

5 3

2

）；

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了“点差法”，涉及中点弦问题．利用点差法能起到事半功倍的作用，该题是中档题．