Question

已知函数f（x）=x+

4

x

，
（1）判断f（x）在区间（0，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（2）判断f（x）在定义域上的奇偶性，并说明理由；
（3）求f（x）在[

1

2

，3]上的最值．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据均值不等式等号成立的条件，判断出单调区间，再运用单调性定义证明．
（2）用奇偶性定义证明．
（3）根据对钩函数的单调性求解最值．

解答： 解：（1）∵函数f（x）=x+

4

x

，在区间（0，+∞）．
x+

4

x

≥4，（x=2等号成立），x=2时取最小值4，
∴可判断在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增
f（x₁）=x₁+

4

x1

，f（x₂）=x₂+

4

x2

，
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

4

x1

-x₂-

4

x2

=（x₁-x₂）（

x1x2-4

x 1x2

）
当0＜x₁＜x₂＜2时，则x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4，
f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）
所以在（0，2）单调递减．
当2＜x₁＜x₂时，则x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，
f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂）
所以在（2，+∞）单调递增．
（2）f（x）=x+

4

x

，（0，+∞）∪（-∞，0），
∵f（-x）=-x-

4

x

=-f（x），
∴f（x）在定义域上是偶函数．
（3）f（x），x∈[

1

2

，3]，
根据（1）可知∈[

1

2

，2]单调递减，在[2，3]单调递增，
f（2）=4，f（3）=

13

3

，f（

1

2

）=

17

2

，
所以最大值为

17

2

，最小值为4，

点评：本题考查了函数的单调性，奇偶性的定义，性质，运用求最值．是考查函数的基本题型．