Question

已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=

2|x-1|-1，0＜x≤2 1 2 f(x-2)，x＞2

则关于x的方程6[f（x）]²-f（x）-1=0的实数根个数为（　　）

• A、6
• B、7
• C、8
• D、9

Answer 1

考点：根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：先设t=f（x），求出方程6[f（x）]²-f（x）-1=0的解，利用函数的奇偶性作出函数在x＞0时的图象，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]²-f（x）-1=0，等价6t²-t-1=0，
解得t=

1

2

或t=-

1

3

，
当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．
若2＜x≤4，则0＜x-2≤2，即f（x）=

1

2

f(x-2)=

1

2

（2^|x-3|-1），
若4＜x≤6，则2＜x-2≤4，即f（x）=

1

2

f(x-2)=

1

4

（2^|x-5|-1），
作出当x＞0时，f（x）=

2|x-1|-1，0＜x≤2 1 2 f(x-2)，x＞2

的图象如图：
当t=

1

2

时，f（x）=

1

2

对应3个交点．
∵函数f（x）是奇函数，
∴当x＜0时，由f（x）=-

1

3

，
可得当x＞0时，f（x）=

1

3

，此时函数图象对应4个交点，
综上共有7个交点，即方程有7个根．
故选：B

点评：本题主要考查函数方程根的个数的判断，利用换元法，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．