Question

6．已知函数f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+b²x+1，若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为$\frac{2}{3}$．

Answer 1

分析 f′（x）=x²+2ax+b²，要满足题意需x²+2ax+b²=0有两不等实根，由此能求出该函数有两个极值点的概率．

解答 解：∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³+ax²+b²x+1，
∴f′（x）=x²+2ax+b²，
要满足题意需x²+2ax+b²=0有两不等实根，
即△=4（a²-b²）＞0，即a＞b，
又a，b的取法共3×3=9种，
其中满足a＞b的有（1，0），（2，0），（2，1），
（3，0），（3，1），（3，2）共6种，
故所求的概率为P=$\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、根的判别式、等可能事件概率计算公式的合理运用．