Question

11．设圆C的半径为1，圆心C在直线3x-y=0上
（Ⅰ）直线x-y+3=0被圆C截得弦长$\sqrt{2}$，求圆C的方程；
（Ⅱ）设A（0，3），若圆C上总存在两个不同的点到A的距离为2，求圆心C的横坐标的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）若圆C被直线x-y+3=0截得的弦长为$\sqrt{2}$，利用勾股定理，即可求圆C的标准方程；
（Ⅱ）由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）因为圆心C在直线3x-y=0上，所以设圆心C的坐标为（a，3a），
因为圆C的半径为1，圆C被直线x-y+3=0截得的弦长为$\sqrt{2}$，
所以圆心C到直线x-y+3=0的距离d=$\sqrt{1-\frac{1}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又d=$\frac{|a-3a+3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2a-3|}{\sqrt{2}}$，所以$\frac{|2a-3|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得a=1或a=2，所以圆心C的坐标为（1，3）或（2，6）．
所以圆C的标准方程为：（x-1）²+（y-3）²=1或（x-2）²+（y-6）²=1．（6分）
（Ⅱ）设圆A：x²+（y-3）²=4，由（Ⅰ）设圆心C的坐标为（a，3a）．
由题意，问题等价于圆A和圆C相交时，求圆心C横坐标a的取值范围，即1＜$\sqrt{{a}^{2}+（3a-3）^{2}}$＜3，
由$\sqrt{{a}^{2}+（3a-3）^{2}}$＞1整理得5a²-9a+4＞0，解得a＜$\frac{4}{5}$或a＞1；
由$\sqrt{{a}^{2}+（3a-3）^{2}}$＜3整理得5a²-9a＜0，解得0＜a＜$\frac{9}{5}$．
所以0＜a＜$\frac{4}{5}$或1＜a＜$\frac{9}{5}$．（6分）

点评 本题考查圆的方程的应用，直线与圆的位置关系，考查分析问题解决问题的能力．