题目内容
13．
已知F1，F2，A分别为椭圆$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左右焦点及上顶点△AF1F2的面积为4$\sqrt{3}$且椭圆的离心率等于$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，过点M（0，4）的直线l与椭圆相交于不同的两点P、Q，点N在线段PQ上．（1）求椭圆的标准方程；
（2）设$\frac{{|{\overrightarrow{PM}}|}}{{|{\overrightarrow{PN}}|}}$=$\frac{{|{\overrightarrow{MQ}}|}}{{|{\overrightarrow{NQ}}|}}$=λ，试求λ的取值范围．
分析 （1）由已知可得：$\frac{1}{2}×2c•b$=4$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．
（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+4，P（x1，y1），Q（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（1+4k2）x2+32kx+32=0．由△＞0，可得k2$＞\frac{3}{4}$．可得$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{2}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+2=$\frac{64{k}^{2}}{3（1+4{k}^{2}）}$，令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t＞1，则t+$\frac{1}{t}$+2=$\frac{64{k}^{2}}{3（1+4{k}^{2}）}$∈（4，$\frac{16}{3}$），可得2＜t+$\frac{1}{t}$＜$\frac{10}{3}$，解得t范围．设N（x0，y0），$\frac{{|{\overrightarrow{PM}}|}}{{|{\overrightarrow{PN}}|}}$=$\frac{{|{\overrightarrow{MQ}}|}}{{|{\overrightarrow{NQ}}|}}$=λ，可得$\overrightarrow{PM}$=-λ$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{MQ}$=$λ\overrightarrow{NQ}$，可得λ=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1}$=$\frac{1+t}{t-1}$=1+$\frac{2}{t-1}$∈（2，+∞）．即可得出．
解答 解：（1）由已知可得：$\frac{1}{2}×2c•b$=4$\sqrt{3}$，$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又a2=b2+c2，解得a=4，b=2，c=2$\sqrt{3}$．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
（2）当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+4，P（x1，y1），Q（x2，y2）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+4}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=16}\end{array}\right.$，得（1+4k2）x2+32kx+48=0．
由题意△=（32k）2-4×48×（1+4k2）＞0，∴k2$＞\frac{3}{4}$．
∴x1+x2=$\frac{-32k}{1+4{k}^{2}}$，x1x2=$\frac{48}{1+4{k}^{2}}$．
∴$\frac{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}^{2}+2{x}_{1}{x}_{2}+{x}_{2}^{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$+$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+2=$\frac{64{k}^{2}}{3（1+4{k}^{2}）}$，
令$\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$=t＞1，则t+$\frac{1}{t}$+2=$\frac{64{k}^{2}}{3（1+4{k}^{2}）}$∈（4，$\frac{16}{3}$），
∴2＜t+$\frac{1}{t}$＜$\frac{10}{3}$，解得：1＜t＜3．
设N（x0，y0），
∵$\frac{{|{\overrightarrow{PM}}|}}{{|{\overrightarrow{PN}}|}}$=$\frac{{|{\overrightarrow{MQ}}|}}{{|{\overrightarrow{NQ}}|}}$=λ，∴$\overrightarrow{PM}$=-λ$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{MQ}$=$λ\overrightarrow{NQ}$，
∴-x1=-λ（x0-x1），x2=λ（x2-x0），
∴λ=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{1+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}{\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}-1}$=$\frac{1+t}{t-1}$=1+$\frac{2}{t-1}$∈（2，+∞）．
∴λ的取值范围是（2，+∞）．
点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、向量的坐标运算性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
