Question

16．已知函数f（x）=asin（2x-$\frac{π}{3}$）+b．（x∈R）
（1）求出函数f（x）的对称轴方程；
（2）设x∈[0，$\frac{π}{2}$]，f（x）的最小值-2，最大值为$\sqrt{3}$，求实数a，b的值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦函数图象及性质，可得2x-$\frac{π}{3}$=kπ$+\frac{π}{2}$（k∈Z）从而求得对称轴方程．
（2）根据x∈[0，$\frac{π}{2}$]，求出2x-$\frac{π}{3}$的范围，即可得到f（x）的最小值及最大值，由题意即可求a，b．

解答 解：（1）函数f（x）=asin（2x-$\frac{π}{3}$）+b．（x∈R）
根据正弦函数图象及性质，可得2x-$\frac{π}{3}$=kπ$+\frac{π}{2}$（k∈Z）
解得：x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{5π}{12}$（k∈Z）
所以：函数f（x）的对称轴方程为x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{5π}{12}$（k∈Z）
（2）∵x∈[0，$\frac{π}{2}$]，那么2x-$\frac{π}{3}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]
当a＞0时，
则2x-$\frac{π}{3}$=$-\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最小值为$-\frac{\sqrt{3}}{2}a+b$．
   2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最大值为a+b．
由题意：$-\frac{\sqrt{3}}{2}a+b$=-2，a+b=$\sqrt{3}$
解得：a=2，b=$\sqrt{3}$-2
故实数a，b的值分别为2，$\sqrt{3}-2$．
当a＜0时，
则2x-$\frac{π}{3}$=$-\frac{π}{3}$时，函数f（x）取得最大值为$-\frac{\sqrt{3}}{2}a+b$．
当2x-$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$时，函数f（x）取得最小值为a+b．
由题意：$-\frac{\sqrt{3}}{2}a+b$=$\sqrt{3}$，a+b=-2
解得：a=-2，b=0
故实数a，b的值分别为-2，0．

点评 本题考查了三角函数的图象及性质的运用能力．属于基础题．