Question

已知圆x²+y²=13a²与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的右支交于A，B两点，且直线AB过双曲线的右焦点，则双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、3

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由已知条件推导出13a²=c²+

b4

a2

，从而得到e⁴-e²-12=0，由此能求出双曲线的离心率．

解答： 解：如图，∵圆x²+y²=13a²与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）
的右支交于A，B两点，且直线AB过双曲线的右焦点，
∴|OA|=

13

a，|OF₂|=c，|AF₂|=

b2

a

，∠AF₂O=90°，
∴13a²=c²+

b4

a2

，∵b²=a²-c²，
∴12a 4 =c⁴-a²c²，
∴e⁴-e²-12=0，
解得e²=4或e²=-3（舍），
∴e=2．
故选：C．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．