Question

已知动点P在圆x²+y²=2上，定点M的坐标为（1，0），则∠OPM的最大值是

 

．

Answer 1

考点：圆的标准方程

专题：直线与圆

分析：设|MP|=x，则可求得|OM|，|PO|的值，进而利用余弦定理得到cos∠OPM的表达式，利用均值不等式求得cos∠OPM的最小值，进而求得∠OPM的最大值．

解答： 解：设|MP|=x，则|OP|=

2

，|MO|=1，
由余弦定理可知cos∠OPM=

OP2+MP2-OM2

2OP•MP

=

2+x2-1

2 2 x

≥

2x

2 2 x

=

2

2

，
∴∠OPM≤

π

4

，当且仅当OP=PM=

2

时，取等号，故∠OPM的最大值是

π

4

，
故答案为：

π

4

．

点评：本题主要考查了点与圆的位置关系，余弦定理的应用，均值不等式求最值．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，属于中档题．