Question

9．中央电视台公开课《开讲啦》需要现场观众，现邀请甲、乙、丙、丁四所大学的40名学生参加，各大学邀请的学生数如下表所示：

大学	甲	乙	丙	丁
人数	8	12	8	12

从这40名学生中按分层抽样的方式抽取10名学生安排在第一排发言席就座．
（1）从抽取的10名学生中随机选出3名学生发言，求这3名学生中任意2名均不属于同一大学的概率；
（2）从抽取的10名学生中随机选出3名学生发言，设其中来自乙大学的学生人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）从20名学生中随机选出3名的方法总数为${C}_{40}^{3}$，选出3人中均不属于同一学院的方法数为${C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}{C}_{8}^{1}+{C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}{C}_{12}^{1}$+${C}_{8}^{1}{C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}+{C}_{12}^{1}{C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}$，由此能求出这3名学生中任意2名均不属于同一大学的概率．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答 解：（Ⅰ）从20名学生中随机选出3名的方法总数为${C}_{40}^{3}$，
选出3人中均不属于同一学院的方法数为${C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}{C}_{8}^{1}+{C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}{C}_{12}^{1}$+${C}_{8}^{1}{C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}+{C}_{12}^{1}{C}_{8}^{1}{C}_{12}^{1}$=3840，
∴这3名学生中任意2名均不属于同一大学的概率p=$\frac{3840}{{C}_{40}^{3}}$=$\frac{96}{247}$．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{28}^{3}}{{C}_{40}^{3}}$=$\frac{3276}{9880}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{12}^{1}{C}_{28}^{2}}{{C}_{40}^{3}}$=$\frac{4536}{9880}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{12}^{2}{C}_{28}^{1}}{{C}_{40}^{3}}$=$\frac{1848}{9880}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{12}^{3}}{{C}_{40}^{3}}$=$\frac{220}{9880}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{3276}{9880}$	$\frac{4536}{9880}$	$\frac{1848}{9880}$	$\frac{220}{9880}$

Eξ=$0×\frac{3276}{9880}+1×\frac{4536}{9880}+2×\frac{1848}{9880}$+$3×\frac{220}{9880}$=9．

点评 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．