Question

20．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2sin（x-\frac{π}{4}）sin（x+\frac{π}{4}）$．
（Ⅰ）求函数f（x）图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间$[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）由条件利用三角函数的恒等变换及化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．
（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域，求得函数的值域．

解答 解：函数$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2sin（x-\frac{π}{4}）sin（x+\frac{π}{4}）$=$\sqrt{3}$sin2x+（sinx-cosx）（sinx+cosx）
=$\sqrt{3}$sin2x+sin²x-cos²x=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
由$2x-\frac{π}{6}=kπ+\frac{π}{2}（k∈Z），得：x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}（k∈Z）$，
∴函数图象的对称轴方程为$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}（k∈Z）$．
（2）∵$x∈[-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}]$，∴$2x-\frac{π}{6}∈[-\frac{π}{3}，\frac{5π}{6}]$．
∵$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）在区间[-\frac{π}{12}，\frac{π}{3}]上单调递增，在区间[\frac{π}{3}，\frac{π}{2}]$上单调递减，∴$当x=\frac{π}{3}时，f（x）$取得最大值2．
又f（-$\frac{π}{12}$）=-$\sqrt{3}$＜f（$\frac{π}{2}$）=1，故函数的最小值为-$\sqrt{3}$，故函数的值域为[-$\sqrt{3}$，2]．

点评 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，正弦函数的图象的对称性，定义域和值域、最值，属于中档题．