Question

如图，在△ABC中，∠B=

π

2

，AB=BC=2，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．
（Ⅰ）若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE；
（Ⅱ）当棱锥A′-PBCD的体积最大时，求PA的长．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,空间中直线与直线之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）设F为A′B的中点，连接PF，FE，通过PDEF是平行四边形，证明A′B⊥DE；
（Ⅱ）令PA=x（0＜x＜2）求出体积表达式，利用导数确定函数的单调性，求出函数的最大值．

解答： （Ⅰ）证明：如图，设F为A′B的中点，连结PF，FE．
则有EF∥BC，EF=

1

2

BC，PD∥BC，PD=

1

2

BC，
∴DE∥PF，又A′P=PB，
∴PF⊥A′B，
故A′B⊥DE．
（Ⅱ）解：令PA=x（0＜x＜2），则A′P=PD=x，BP=2-x．
∵A′P⊥PD，且平面A′PD⊥平面PBCD，
∴A′P⊥平面PBCD．
∴V_A′-PBCD=

1

3

Sh=

1

6

（2-x）（2+x）x=

1

6

（4x-x³）．
令f（x）=

1

6

（4x-x³），
由f′（x）=

1

6

（4-3x²）=0，得x=

2 3

3

．
当x∈（0，

2 3

3

）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（

2 3

3

，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
∴当x=

2 3

3

时，f（x）取得最大值，
故当V_A′-PBCD最大时，PA=

2 3

3

．

点评：本题是中档题，考查几何体的体积计算，函数最大值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力．