Question

直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁，高AA₁为3，底面ABCD为长方形且面积为

7

2

，则该直四棱柱外接球表面积的最小值为

 

．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：设长方形的长、宽分别为a，b，则ab=

7

2

，直四棱柱外接球的半径为

1

2

a2+b2+9

≥

1

2

2ab+9

=2，（当且仅当a=b时取等号），即可求出该直四棱柱外接球表面积的最小值．

解答： 解：设长方形的长、宽分别为a，b，则ab=

7

2

，
直四棱柱外接球的半径为

1

2

a2+b2+9

≥

1

2

2ab+9

=2，（当且仅当a=b时取等号）
∴该直四棱柱外接球表面积的最小值为4π×2²=16π．
故答案为：16π．

点评：本题考查直四棱柱外接球表面积的最小值，考查基本不等式的运用，属于中档题．