Question

已知函数f（x）=k•2^x+2^-x（k是常数）．
（1）若函数f（x）是R上的奇函数，求k的值；
（2）若对于任意x∈[-3，2]，不等式f（x）＜1都成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）运用f（-x）=-f（x），f（0）=0，求解得出 k=-1，
（2））解法1：对于任意x∈[-3，2]，不等式k＜-[(

1

2

)x]2+(

1

2

)x都成立．转化为对于任意t∈[

1

4

，8]，不等式k＜-t²+t都成立，
只需 k＜（-t²+t）_min即可．
解法2：对于任意t∈[

1

8

，4]，不等式k•t²-t+1＜0都成立．又令 g（t）=k•t²-t+1．分类讨论求解转化为不等式组求解即可．

解答： 解：（1）因为函数f（x）是R上的奇函数，则f（-x）=-f（x），
令x=0，所以 f（0）=0，即 k•2⁰+2⁰=0，即 k+1=0，解得 k=-1，
此时 f（x）=-2^x+2^x，因为 f（-x）=-2^-x+2^x，即 f（-x）=-（-2^x+2^-x），
则 f（-x）=-f（x）．所以当函数f（x）是R上的奇函数，k=-1．
（2）解法1：由题意知对于任意x∈[-3，2]，不等式k•2^x+2^-x＜1都成立．
即对于任意x∈[-3，2]，不等式k•2x＜-

1

2x

+1都成立．
因为2^x＞0，则对于任意x∈[-3，2]，不等式k＜-[(

1

2

)x]2+(

1

2

)x都成立．
令 t=(

1

2

)x，则 t∈[

1

4

，8]，且对于任意t∈[

1

4

，8]，不等式k＜-t²+t都成立，
只需 k＜（-t²+t）_min即可．
因为t∈[

1

4

，8]，所以 -t2+t∈[-56，

1

4

]，
即 （-t²+t）_min=-56，因此 k＜-56．
解法2：由题意知对于任意x∈[-3，2]，不等式k•2^x+2^-x＜1都成立．
因为2^x＞0，所以对于任意x∈[-3，2]，不等式k•（2^x）²-2^x+1＜0都成立．
令 t=2^x，则 t∈[

1

8

，4]，且对于任意t∈[

1

8

，4]，不等式k•t²-t+1＜0都成立．
又令 g（t）=k•t²-t+1．
①当k=0时，g（t）=-t+1，g(

1

8

)=

7

8

＞0，不符合题意；
②当k＞0时，函数g（t）=k•t²-t+1图象的开口向上，则得 

k＞0 g( 1 8 )＜0 g(4)＜0

，
即 

k＞0 ( 1 8 )2•k- 1 8 +1＜0 42•k-4+1＜0

⇒k∈∅；
③当k＜0时，函数g（t）=k•t²-t+1图象的开口向下，对称轴是直线x=

1

2k

   (＜0)，
函数g（t）在区间[

1

8

，4]上是减函数，则得 

k＜0 g( 1 8 )＜0

，即 

k＜0 ( 1 8 )2•k- 1 8 +1＜0

，
解得：k＜-56．
综上：k＜-56，

点评：本题综合考查了函数的性质，不等式的性质，运用分类讨论，基本不等式求解，属于综合题，难度较大．