Question

已知不等式|x-2|＞1的解集与关于x的不等式x²-ax+b＞0的解集相等．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）求函数f(x)=a

x-3

+b

5-x

的最大值，以及取得最大值时x的值．

Answer 1

考点：柯西不等式在函数极值中的应用,一元二次不等式的解法,绝对值不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）由绝对值不等式的解法，可得解集为{x|x＜1或x＞3}，进而得到1，3为方程x²-ax+b=0的两根，代入方程即可得到a，b；
（Ⅱ）运用柯西不等式，可得f（x）的最大值，同时由等号成立的条件可得x的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵不等式|x-2|＞1的解集为{x|x＜1或x＞3}，
∴不等式x²-ax+b＞0的解集为{x|x＜1或x＞3}．
从而1，3为方程x²-ax+b=0的两根，
∴

1-a+b=0 9-3a+b=0

，
解得：a=4，b=3．
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为[3，5]，且显然有y＞0，
由柯西不等式可得：
y=4

x-3

+3

5-x

≤

42+32

×

( x-3 )2+( 5-x )2

=5

2

，
当且仅当：4

5-x

=3

x-3

时等号成立，
即x=

107

25

时，函数取得最大值5

2

．

点评：本题考查绝对值不等式和二次不等式的解法，考查柯西不等式的运用：求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．