Question

设直线x=m与函数f（x）=2x²，g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，|MN|取最小值时，m的值为

 

．

Answer 1

考点：导数在最大值、最小值问题中的应用

专题：导数的综合应用

分析：两个函数作差，得到函数y=f（x）-g（x），再求此函数的最小值，即可得到结论．

解答： 解：设函数y=f（x）-g（x）=2x²-lnx（x＞0），求导数得y′=4x-

1

x

=

4x2-1

x

（x＞0），
令y′＜0，∵x＞0，∴0＜x＜

1

2

，∴函数在（0，

1

2

）上为单调减函数，
令y′＞0，∵x＞0，∴x＞

1

2

，∴函数在（

1

2

，+∞）上为单调增函数，
∴x=

1

2

时，函数取得最小值为2×(

1

2

)2-ln

1

2

=

1

2

+ln2，
即|MN|的最小值为

1

2

+ln2．
此时m=

1

2

．
故答案为：

1

2

．

点评：本题考查导数知识的运用，解题的关键是构造函数，确定函数的单调性，从而求出函数的最值．