Question

16．如图，网格纸上的小正方形边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的体积为$8\sqrt{6}π$．

Answer 1

分析 作出几何体的直观图，建立坐标系，利用距离公式列方程求出外接球的球心坐标，从而得出外接球的半径，代入体积公式计算得出答案．

解答 解：几何体为三棱锥，直观图如图所示：
其中PA⊥底面ABC，AB⊥BC，BC=4，AB=PA=2，
以B为原点建立如图所示的空间坐标系B-xyz，
则A=（2，0，0），B（0，0，0），C（0，4，0），P（2，0，2），
设棱锥的外接球球心为M（x，y，z），则MA=MB=MC=MP，
即（x-2）²+y²+z²=x²+y²+z²=x²+（y-4）²+z²=（x-2）²+y²+（z-2）²，
∴x=1，y=2，z=1，
∴外接球半径R=|MB|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+{z}^{2}}$=$\sqrt{6}$．
∴外接球的体积V=$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=8$\sqrt{6}$π．
故答案为：8$\sqrt{6}$π．

点评 本题考查了棱锥的三视图，棱锥与外接球的位置关系，体积公式，属于中档题．