Question

18．在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A、B、C所对的，若$cosB=\frac{1}{4}，b=2，sinC=2sinA$，则△ABC的面积为（　　）

• A． $\frac{{\sqrt{15}}}{6}$
• B． $\frac{{\sqrt{15}}}{4}$
• C． $\frac{{\sqrt{15}}}{2}$
• D． $\sqrt{15}$

Answer 1

分析 由题意和正余弦定理可得a，c的值，由同角三角函数的基本关系可得sinB，代入三角形的面积公式计算可得．

解答 解：在△ABC中由正弦定理可知：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=2R，
由sinC=2sinA，则c=2a，
cosB=$\frac{1}{4}$，sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
由余弦定理可知：b²=a²+c²-2accosB，即2²=a²+（2a）²-2a•2a×$\frac{1}{4}$，
解得a=1，c=2，
△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$acsinB=$\frac{\sqrt{15}}{4}$，
故选：B．

点评 本题考查三角形的面积，涉及正余弦定理的应用，属基础题．