Question

17．把地球看作是半径为R的球，A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，求A、B两点间的球面距离R•arccos$\frac{5}{8}$（结果用反三角表示）

Answer 1

分析 设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O₁，半径为r，则r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，且△AO₁B为等边三角形，即AB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R；△AOB中，由余弦定理求得∠AOB的值，利用弧长共公式求得A、B两点间的球面距离．

解答 解：设北纬30°纬线圈所在圆的圆心为O₁，半径为r，则r=R•cos30°=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R，
根据A点位于北纬30°，东经20°，B点位于北纬30°，东经80°，可得∠AO₁B=60°，
∴△AO₁B为等边三角形，即AB=r=$\frac{\sqrt{3}}{2}$R．
△AOB中，由余弦定理可得AB²=$\frac{3}{4}$R²=R²+R²-2R²•cos∠AOB，求得cos∠AOB=$\frac{5}{8}$，
∴∠AOB=arccos$\frac{5}{8}$，∴A、B两点间的球面距离 $\widehat{AB}$=R•∠AOB=R•arccos$\frac{5}{8}$，
故答案为：R•arccos$\frac{5}{8}$．

点评 本题主要考查球面距离的求法，利用余弦定理解三角形，反三角函数、弧长公式的应用，属于中档题．