Question

11．已知数列{a_n}中，a₁=1，且a_n=$\frac{n}{n-1}$a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值以及数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{{3}^{n-1}}{{a}_{n}}$（n∈N^*），数列{b_n}的前n项和为S_n，试比较S${\;}_{{2}^{n}}$与n的大小，并说明理由．

Answer 1

分析 （I）取n=2，3可得a₂，a₃，由a_n=$\frac{n}{n-1}$a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^*），可得：$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=2×3^n-2．利用累加求和方法即可得出a_n；
（II）求出b_n，得出S_n，从而得出S${\;}_{{2}^{n}}$，分别取n=1，2，3，比较S${\;}_{{2}^{n}}$与n的大小，归纳得出结论，利用数学归纳法给出证明．

解答 解：（I）a₂=2a₁+4=6，a₃=$\frac{3}{2}$a₂+18=27．
∵a_n=$\frac{n}{n-1}$a_n-1+2n•3^n-2（n≥2，n∈N^*）．
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$-$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$=2×3^n-2，
$\frac{{a}_{n-1}}{n-1}$-$\frac{{a}_{n-2}}{n-2}$=2×3^n-3，
…
$\frac{{a}_{2}}{2}$-$\frac{{a}_{1}}{1}$=2×3⁰，
以上各式相加得：$\frac{{a}_{n}}{n}$-a₁=2×（3^n-2+3^n-3+…+3⁰）=2×$\frac{{3}^{n-1}-1}{3-1}$=3^n-1-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=3^n-1，
∴a_n=n•3^n-1．
（II）b_n=$\frac{{3}^{n-1}}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{n}$，
数列{b_n}的前n项和为S_n=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$．
则S${\;}_{{2}^{n}}$=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$+$\frac{1}{n+1}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}-1}$+$\frac{1}{{2}^{n}}$．
n=1，S₂=1+$\frac{1}{2}$＞1；
n=2时，${S}_{{2}^{2}}$=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$＞2．
n=3时，${S}_{{2}^{3}}$=$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{3}}$＜3．
猜想：当n≥3时，S${\;}_{{2}^{n}}$＜n，
下面用数学归纳法给出证明，
（1）显然n=3时，S${\;}_{{2}^{3}}$＜3，
（2）假设n=k（k≥3）时，${S}_{{2}^{n}}$＜n．
即1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$＜k，
则1+$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{{2}^{k}}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$＜k+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+2}$+…+$\frac{1}{{2}^{k+1}}$
＜k+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+$\frac{1}{{2}^{k}+1}$+…$\frac{1}{{2}^{k}+1}$=k+$\frac{{2}^{k}}{{2}^{k}+1}$＜k+1，
即S${\;}_{{2}^{k+1}}$＜k+1，
∴当n=k+1时，猜想也成立．
综上可得：n=1，2时，${S}_{{2}^{n}}$＞n；n≥3时，${S}_{{2}^{n}}$＜n．

点评 本题考查了数列通项公式的求法，数学归纳法，属于中档题．