Question

设a₁，a₂，…，a_n为正整数，其中至少有五个不同值，若对任意的i，j（1≤i＜j≤n），存在k，l（k≠l，且异于i与j）使得a_i+a_j=a_k+a_l，则n的最小值为

 

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Answer 1

考点：数列递推式

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：根据题意，设a₁，a₂，a_n为正整数，其中至少有五个不同值．若对于任意的i，j（1≤i＜j≤n），存在k，l（k≠l，且异于i与j）使得a_i+a_j=a_k+a_l，那么对于n至少大于等于5，那么对于n从6开始，逐一的验证可知，那么最小的n为13．

解答： 解：首先将这n个数从小到大排序，仍记为a1，a2，…an且a₁≤a₂≤…≤a₁．
考虑n的最小值．首先这个数列的最大最小值数的个数必不少于4．
比如取i=n-1，j=n，要存在k，l使得ai+aj=ak+al，
由于其他数都小于等于ai，且a_i≤a_j，
必有a_i=a_j=a_k=a_l，即至少有4个最大值，
同理必有4个最小值，再考虑中间的数．第二小的数至少有两个，
比如取最小的数和第二小的数，一定要存在k，l使得他们俩的和要等于第一小和第二小的数之和，
那么这两个数必也为最小的和第二小的数．
这样必有两个第二小的数，
同理第二大的数也至少有两个，由于至少有5个不同的值，
那么这样n的最小值即为4+2+1+2+4=13．
故答案为：13

点评：本题主要考查数列的应用，解决的关键是理解任意和存在的含义，并能对于n令值来分析推导得到结论，难度较大．