Question

下列命题中，真命题是（　　）

• A、存在x∈[0，

  π

  2

  ]，使sinx+cosx＞

  2

• B、存在x∈（3，+∞），使2x+1≥x²
• C、存在x∈R，使x²=x-1
• D、对任意x∈（0，

  π

  2

  ]，使sinx＜x

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用,简易逻辑

分析：A，sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），利用正弦函数的有界性，可判断A；
B，利用二次函数的单调性可知，当x∈（3，+∞）时，f（x）=x²-2x-1为增函数，故f（x）＞f（3），从而可判断B；
C，易知方程x²-x+1=0无解，可判断C；
D，构造函数f（x）=x-sinx，利用导数易判断f（x）=x-sinx在区间（0，

π

2

]上为增函数，所以f（x）＞f（0）=0，从而可判断D．

解答： 解：对于A，sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

）≤

2

，故不存在x∈[0，

π

2

]，使sinx+cosx＞

2

，故A错误；
对于B，令f（x）=x²-2x-1，其对称轴方程为x=1，当x∈（3，+∞）时，f（x）=x²-2x-1为增函数，f（x）＞f（3）=9-6-1=2＞0，即x²＞2x+1，故B错误；
对于C，由于方程x²-x+1=0中，△=1-4=-3＜0，故方程x²-x+1=0无解，所以，不存在x∈R，使x²=x-1，故C错误；
对于D，令f（x）=x-sinx，因为x∈（0，

π

2

]，所以f′（x）=1-cosx＞0，故f（x）=x-sinx在区间（0，

π

2

]上为增函数，所以f（x）＞f（0）=0，即x-sinx＞0，
所以，sinx＜x，故D正确．
故选：D．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，考查正弦函数的有界性、二次函数的单调性，考查构造函数思想与等价转化思想的应用，属于中档题．