Question

已知方程x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0表示一个圆．
（1）求t的取值范围；
（2）求圆的圆心和半径；
（3）求该圆的半径r的最大值及此时圆的标准方程．

Answer 1

考点：圆的一般方程

专题：直线与圆

分析：（1）直接利用二元二次方程表示圆的条件，列出不等式即可求出t的取值范围；
（2）利用圆的一般方程，直接求圆的圆心和半径；
（3）化简该圆的半径r的表达式，通过二次函数的最值的求法，求出最大值，即可求解圆的标准方程．

解答： 解：（1）由圆的一般方程x²+y²-2（t+3）x+2（1-4t²）y+16t⁴+9=0得：
[-2（t+3）]²+4（1-4t²）²-4 （16t⁴+9）＞0，…（1分）
即：-7t²+6t+1＞0，…（2分）
解得：-

1

7

＜t＜1．…（3分）
（2）圆心为：（-

-2(t+3)

2

，-

2(1-4t2)

2

）即圆心为：（t+3，4t²-1）…（4分）
半径r=

1

2

[-2(t+3)]2+4(1-4t2)2-4(16t4+9)

=

-7t2+6t+1

；…（6分）
（3）r=

-7t2+6t+1

=

-7(t- 3 7 )2+ 16 7

，…（8分）
所以当t=

3

7

 时，r_max=

2 7

7

，…（10分）
故圆的标准方程为：（x-

24

7

）²+（y+

13

49

）²=

16

7

．…（12分）

点评：本题考查二元二次方程表示圆的充要条件，圆的一般方程的应用，考察计算能力．