Question

如图，在梯形ABCD中，AD⊥CD，AD∥CD，AD=CD=

1

2

AB=a，平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，AE=a．
（1）求证：AF⊥BC；
（2）求二面角B-AF-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明FC⊥BC，BC⊥AC，可得BC⊥平面ACFE，即可证明AF⊥BC；
（2）过C作CG⊥AF于G点，连BG，则∠BGC为所求角，求出tan∠BGC=

3

，可求二面角B-AF-C的余弦值．

解答： （1）证明：∵平面ACFE⊥平面ABCD，四边形ACFE是矩形，
∴FC⊥平面ABCD，
∴FC⊥BC，
∵AD⊥CD，AD∥CD，AD=CD=

1

2

AB=a，
∴BC⊥AC，
∵FC∩AC=C，
∴BC⊥平面ACFE，
∴AF⊥BC；
（2）解：过C作CG⊥AF于G点，连BG
又AF⊥BC，故AF⊥平面BCG，于是∠BGC为所求角．
在△BGC中，BC=

2

a，CG=

AC•CF

AF

=

6

3

a，
于是tan∠BGC=

3

，∴cos∠BGC=

1

2

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题．