Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA=AB=1，AD=

3

，PC=

5

，PD=2，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．
（Ⅰ）点E为BC的中点时，试判断PC与平面AEF的位置关系，并说明理由；
（Ⅱ）求证：无论点E在BC边的何处，都有PE⊥AF；
（Ⅲ）当BE为何值时，PA与平面PDE所成角的大小为45°？

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,空间中直线与平面之间的位置关系

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）利用勾股定理证明PA⊥平面ABCD，建立空间直角坐标系，证明

CP

=（-

3

，-1，1）=

1

2

EF

，即可证明PC∥平面AEF；
（II）证明

PE

•

AF

=0即可；
（Ⅲ）求出平面PDE的一个法向量，利用PA与平面PDE所成角为45°，可得sin45°=

2

2

=

3

1+( 3 -a)2+3

，即可求出结论．

解答： （Ⅰ）解：∵PA=AB=1，AD=

3

，PC=

5

，PD=2，
∴PA²+AD²=PD²，PA²+AC²=PA²+AD²+DC²=PC²，
∴PA⊥AD，PA⊥AC
∵AD∩AC=A，
∴PA⊥平面ABCD
分别以

AD

，

AB

，

AP

为Ox轴，Oy轴，Oz轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则B（0，1，0），C（

3

，1，0），D（

3

，0，0），P（0，0，1），F（0，

1

2

，

1

2

）．
当点E为BC的中点时，E（

3

2

，1，0）
∴

EF

=（-

3

2

，-

1

2

，

1

2

）
又

CP

=（-

3

，-1，1）=

1

2

EF

∴CP∥EF．
又PC?平面AEF，而EF?平面AEF，
∴PC∥平面AEF．
（II）证明：设BE=a（0≤a≤

3

），则E（a，1，0），

PE

•

AF

=（a，1，-1）•（0，

1

2

，

1

2

）=0，
∴PE⊥AF．
（III）解：设

n

=（x，y，z）是平面PDE的一个法向量，
由

3 x-z=0 ax+y-z=0

，取

n

=（1，

3

-a，

3

）．
而

AP

=（0，0，1），依题意PA与平面PDE所成角为45°，
∴sin45°=

2

2

=

3

1+( 3 -a)2+3

，
得BE=a=

3

-

2

或BE=a=

3

+

2

＞

3

（舍去）．
故BE=

3

-

2

时，PA与平面PDE所成角为45°．

点评：本题考查直线与平面平行的判定，异面直线垂直判定、异面直线所成角的求法，在适合建立空间坐标系的情况下，转化为用空间坐标系中的向量法解决，较为简捷．