Question

已知集合M={x|x=m+

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n，m、n∈Z}
（1）若t∈Z，试判断t是否是集合M的元素；
（2）若x₁、x₂∈M，试判断x₁+x₂及x₁x₂是否属于集合M，如果属于，请给出证明；若不属于，请给出反例．

Answer 1

考点：元素与集合关系的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）分当n≠0和当n=0两种情况，利用M中元素的形态分别讨论t与M的关系．
（2）若x₁、x₂∈M，则x₁=a+

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b，x₂ =c+

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d，且a、b、c、d∈Z，分别考查x₁+x₂ 和x₁•x₂ 的形态，从而确定它们与集合M的关系．

解答： 解：（1）∵M={x|x=m+

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n，m、n∈Z}，∴当n≠0时，x为无理数，若t∈Z，则t是不是集合M的元素．
当n=0时，x为整数，若t∈Z，则t是集合M的元素．
（2）若x₁、x₂∈M，则x₁=a+

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b，x₂ =c+

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d，且a、b、c、d∈Z，
∴x₁+x₂=a+c+（b+d）

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，仍是m+

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n，m、n∈Z的形式，故x₁+x₂ 属于集合M．
根据 x₁x₂ =ac+2bd+（ad+bc）

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，仍是m+

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n，m、n∈Z的形式，故x₁x₂ 属于集合M．

点评：本题主要考查元素与集合的关系的判定，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．