题目内容
（1）用综合法证明：a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（a，b，c∈R）；
（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+
，b=y2-2z+
，c=z2-2x+
，求证a，b，c中至少有一个大于0．
（2）用反证法证明：若a，b，c均为实数，且a=x2-2y+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
考点：反证法与放缩法,综合法与分析法(选修）
专题：综合题,反证法
分析：（1）由于已知 a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，相加后两边同时除以2，即得所证．
（2）用反证法，假设a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证．
（2）用反证法，假设a，b，c都小于或等于0，推出a+b+c的值大于0，出现矛盾，从而得到假设不正确，命题得证．
解答：
证明：（1）∵a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，
相加可得 2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca），
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c时，取等号）；
（2）设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
∴a+b+c≤0，
而a+b+c=（x2-2y+
）+（y2-2z+
）+（z2-2x+
）
=（x2-2x）+（y2-2y）+（z2-2z）+π=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3，
∴a+b+c＞0，
这与a+b+c≤0矛盾，
故假设是错误的，
故a、b、c中至少有一个大于0．
相加可得 2（a2+b2+c2）≥2（ab+bc+ca），
∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca，（当且仅当a=b=c时，取等号）；
（2）设a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，
∴a+b+c≤0，
而a+b+c=（x2-2y+
| π |
| 2 |
| π |
| 3 |
| π |
| 6 |
=（x2-2x）+（y2-2y）+（z2-2z）+π=（x-1）2+（y-1）2+（z-1）2+π-3，
∴a+b+c＞0，
这与a+b+c≤0矛盾，
故假设是错误的，
故a、b、c中至少有一个大于0．
点评：本题主要考查用综合法和反证法证明不等式，体现了转化的数学思想，属于中档题．用反证法证明数学命题，推出矛盾，是解题的关键和难点．
练习册系列答案
相关题目
如图，在梯形ABCD中，AD⊥CD，AD∥CD，AD=CD=
如图，在四棱柱P-ABCD中，底面ABCD是矩形，E是棱PA的中点，PD⊥BC．求证：
如图，在⊙O的直径AB的延长线上任取一点C，过点C引直线与⊙O交于点D、E，在⊙O上再取一点F，使