Question

设函数f（x）=（

x

a

-1）²+（

b

x

-1）²，其中x∈（0，+∞），设t=

x

a

+

b

x

（1）当a=1，b=4时，用t表示f（x），并求出f（x）的最小值；
（2）设k＞0，当a=k²，b=（k+1）²时，若1≤f（x）≤9对任意x∈[a，b]恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：导数的综合应用

分析：（1）利用基本不等式可得t的取值范围，通过配方和利用乘法公式即可得出f（x）用t表示的表达式，再利用二次函数的单调性即可得出；
（2）利用导数可得t的取值范围，再利用二次函数的单调性即可得出k的取值范围．

解答： 解：（1）当a=1，b=4时，又x＞0，∴t=x+

4

x

≥2

x• 4 x

=4．当且仅当x=2时取等号．
∴x2+(

4

x

)2=(x+

4

x

)2-8=t²-8．
∴f（x）=(x-1)2+(

4

x

-1)2=x2+(

4

x

)2-2(x+

4

x

)+2=t²-8-2t+2=t²-2t-6=g（t）
∴g（t）=（t-1）²-7，t∈[4，+∞）．
∴当t=4时，g（t）取得最小值2，即x=2时函数f（x）取得最小值2．
（2）∵t=

x

a

+

b

x

，x∈[a，b]．∴t′=

1

a

-

b

x2

=

x2-ab

ax2

=

(x+ ab )(x- ab )

ax2

，
令t′=0，解得x=

ab

．
当a≤x＜

ab

时，t′＜0，此时函数t（x）单调递减；当

ab

＜x≤b时，t′＞0，此时函数t（x）单调递增．
∴当x=

ab

时，函数t（x）取得最小值，t(

ab

)=2

b a

=

2 ab

a

．
又t（a）=t（b）=1+

b

a

，∴t∈[

2 ab

a

，1+

b

a

]．
∴f（x）=（

x

a

-1）²+（

b

x

-1）²=(

x

a

+

b

x

)2-

2b

a

-2(

x

a

+

b

x

)+2=t2-2t+2-

2b

a

=g（t）.t∈[

2 ab

a

，1+

b

a

]．
∵k＞0，a=k²，b=（k+1）²，
∴t∈[

2(k+1)

k

，1+

(k+1)2

k2

]．即t∈[2+

2

k

，2+

2

k

+

1

k2

]（k＞0）．
∴g（t）=(t-1)2+1-

2b

a

=（t-1）²-1-

4

k

-

2

k2

，
当t=2+

2

k

时，g（t）取得最小值，g(2+

2

k

)≥1；
当t=2+

2

k

+

1

k2

时，g（t）取得最大值，g(2+

2

k

+

1

k2

)≤9．
联立

g(2+ 2 k )≥1 g(2+ 2 k + 1 k2 )≤9

，化为

2 k2 ≥1 4 k2 + 4 k3 + 1 k4 ≤9

，解得1≤k≤

2

．
∴k的取值范围是[1，

2

]．

点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、二次函数的单调性，考查了推理能力和计算能力，属于难题．