Question

6．已知函数f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+x
（1）设G（x）=f（x）+lnx，求G（x）的单调递增区间；
（2）证明：k＜1时，存在x₀＞1，当x∈（1，x₀）时，恒有f（x）-$\frac{1}{2}$＞k（x-1）

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可；
（2）令F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$-k（x-1），求出函数的导数，求出函数的单调区间，从而证明结论即可．

解答 解：（1）由题意知，G（x）=f（x）+lnx=2lnx-$\frac{1}{2}$x²+x（x＞0），
从而G′（x）=$\frac{2}{x}$-x+1=-$\frac{{x}^{2}-x-2}{x}$，
令G′（x）＞0，得0＜x＜2，所以函数G（x）的单调递增区间为（0，2）．
（2）当k＜1时，令F（x）=f（x）-$\frac{1}{2}$-k（x-1）=lnx-$\frac{1}{2}$x²+x-$\frac{1}{2}$-k（x-1），（x＞0），
则有F′（x）=$\frac{{-x}^{2}+（1-k）x+1}{x}$，
由F′（x）=0，得-x²+（1-k）x+1=0，解得x₁=$\frac{1-k-\sqrt{{（1-k）}^{2}+4}}{2}$＜0，x₂=$\frac{1-k+\sqrt{{（1-k）}^{2}+4}}{2}$＞1，
从而存在x₀=x₂＞1，当x∈（1，x₀）时，F′（x）＞0，故F（x）在[1，x₀）上单调递增，
从而当x∈（1，x₀）时，F（x）＞F（1）=0，即f（x）-$\frac{1}{2}$＞k（x-1）．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．