Question

14．已知函数f（x）=x³+mx²+nx+p在x=-$\frac{2}{3}$和x=1处都取得极值．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若对任意的x∈[-2，2]，有f（x）≥-p²-ap-6恒成立，其中a∈[-1，1]．求p的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，得到关于m，n的方程，求出m，n的值，从而求出函数的单调区间即可；
（2）根据函数的单调性求出f（x）在[-2，2]上的最小值，问题转化为解不等式p²+（a+1）p≥0，解出即可．

解答 解；（1）f（x）=x³+mx²+nx+p，f'（x）=3x²+2mx+n
由 $\left\{\begin{array}{l}{f′（-\frac{2}{3}）=3×\frac{4}{9}+2m×（-\frac{2}{3}）+n=0}\\{f′（1）=3+2m+n=0}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{m=-\frac{1}{2}}\\{n=-2}\end{array}\right.$，
代回原函数得，f（x）=x³-$\frac{1}{2}$x²-2x+p，f'（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），函数f（x）的单调区间如下表：

x	（-∞，-$\frac{2}{3}$）	-$\frac{2}{3}$	（-$\frac{2}{3}$，1）	1	（1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

所以函数f（x）的递增区间是（-∞，-$\frac{2}{3}$）和（1，+∞），递减区间是（-$\frac{2}{3}$，1）．
（2）由（1）得：f（x）的递增区间是[-2，-$\frac{2}{3}$）和（1，2]，递减区间是（-$\frac{2}{3}$，1），
∴f（x）的最小值是f（-2）或f（1），而f（-2）=p-6，f（1）=p-$\frac{3}{2}$，
故f（-2）最小，
f（x）≥-p²-ap-6恒成立，即p²+（a+1）p≥0①，
a∈[-1，1]时，0≤a+1≤2，
解①得：p≥0或p≤-a-1，
即p的范围是（-∞，-a-1]∪[0，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．