Question

19．已知函数f（x）=lnx+x²+x，正实数x₁，x₂满足f（x₁）+f（x₂）+x₁x₂=0，证明：x₁+x₂≥$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 得到（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）=x₁x₂-ln（x₁x₂），这样令t=x₁x₂，t＞0，容易求得函数t-lnt的最小值为1，从而得到（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）≥1，解这个关于x₁+x₂的一元二次不等式即可得出要证的结论．

解答 证明：由f（x₁）+f（x₂）+x₁x₂=0，
即lnx₁+x₁²+x₁+lnx₂+x₂²+x₂+x₁x₂=0，
从而（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）=x₁x₂-ln（x₁x₂），
令t=x₁x₂，则由h（t）=t-lnt得，h′（t）=$\frac{t-1}{t}$，
可知，h（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+∞）上单调递增，
∴h（t）≥h（1）=1，
∴（x₁+x₂）²+（x₁+x₂）≥1，又x₁+x₂＞0，
因此x₁+x₂≥$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$成立．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及换元思想，考查不等式的证明，是一道中档题．