Question

2．函数f（x）=a$\sqrt{x+1}$+$\frac{1}{x}$的极大值点x₀∈（-1，-$\frac{1}{2}$），则实数a的取值范围为（　　）

• A． （0，4$\sqrt{2}$）
• B． （1，4）
• C． （-∞，4$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，4）

Answer 1

分析 求导数，分离参数，再求导数，确定函数值的范围，即可求出实数a的取值范围．

解答 解：∵函数f（x）=a$\sqrt{x+1}$+$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{a}{2\sqrt{x+1}}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=0，
∴a=$\frac{2\sqrt{x+1}}{{x}^{2}}$，
∴a′=$\frac{-x（3x+4）}{\sqrt{x+1}}$•$\frac{1}{{x}^{4}}$，
∵x∈（-1，-$\frac{1}{2}$），
∴a′＞0，
∴函数单调递增，
∴0＜a＜4$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了导数的综合应用，考查函数的极值，考查学生的计算能力，属于中档题．