Question

3．已知函数f（x）=|x+1|+|x-a|，同时满足f（-2）≤4和f（2）≤4．
（1）求实数a的值；
（2）记函数f（x）的最小值为M，若$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=M（m，n∈R^*），求m+2n的最小值．

Answer 1

分析 （1）分别利用f（-2）≤4和f（2）≤4求解绝对值的不等式得到a的范围，取交集得答案；
（2）利用绝对值的不等式求得f（x）的最小值为M，得到$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=2，再由基本不等式求得m+2n的最小值．

解答 解：（1）由f（2）=3+|a-2|≤4，得|a-2|≤1，即1≤a≤3．
由f（-2）=1+|a+2|≤4，得|a+2|≤3，即-5≤a≤1．
∵f（-2）≤4和f（2）≤4同时成立，
∴a=1；
（2）∵f（x）=|x+1|+|x-a|=|x+1|+|x-1|≥|（x+1）-（x-1）|=2，
当且仅当（x+1）（x-1）≤0，即-1≤x≤1时取等号，∴M=2．
即$\frac{1}{m}$+$\frac{2}{n}$=2（m，n∈R^*），
∴m+2n=$\frac{1}{2}（m+2n）（\frac{1}{m}+\frac{2}{n}）=\frac{1}{2}（1+4+\frac{2n}{m}+\frac{2m}{n}）$$≥\frac{1}{2}（5+2\sqrt{4}）=\frac{9}{2}$．
当且仅当$\frac{2n}{m}=\frac{2m}{n}$且$\frac{1}{m}+\frac{2}{n}=2$，即m=n=$\frac{3}{2}$时取等号．
∴m+2n的最小值为$\frac{9}{2}$．

点评 本题考查绝对值不等式的解法，训练了利用不等式求最小值，是中档题．