Question

6．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{log_2}（-x），x＜0\\ x-2，x≥0\end{array}\right.$若函数g（x）=a-|f（x）|有四个零点x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，则ax₁x₂+$\frac{{{x_3}+{x_4}}}{a}$的取值范围是[4，+∞）．

Answer 1

分析 画出函数y=|f（x）|的图象，由题意得出a的取值范围和x₁x₂，x₃+x₄的值，再利用基本不等式即可求出ax₁x₂+$\frac{{{x_3}+{x_4}}}{a}$的取值范围．

解答 解：由题意，画出函数y=|f（x）|的图象，如图所示，
又函数g（x）=a-|f（x）|有四个零点x₁，x₂，x₃，x₄，且x₁＜x₂＜x₃＜x₄，
所以0＜a≤2，
且log₂（-x₁）=-log₂（-x₂）=2-x₃=x₄-2，
所以x₁x₂=1，x₃+x₄=4，
所以ax₁x₂=a，
$\frac{{x}_{3}{+x}_{4}}{a}$=$\frac{4}{a}$，
所以ax₁x₂+$\frac{{{x_3}+{x_4}}}{a}$=a+$\frac{4}{a}$≥2$\sqrt{a•\frac{4}{a}}$=4，当且仅当a=2时“=”成立；
所以ax₁x₂+$\frac{{{x_3}+{x_4}}}{a}$的取值范围是[4，+∞）．
故答案为：[4，+∞）．

点评 本题考查了分段函数研究函数的零点的应用问题，也考查了取值范围的确定与等价转化的应用问题，是综合性题目．