Question

9．如图所示，过点P作⊙O的切线PA，A为切点，割线PB交⊙O于点B、C，R为⊙O上的点，且有AC=AR．
（1）证明：∠PAC=∠ACR；
（2）若AB为⊙O的直径，证明$\frac{PC}{AR}$=$\frac{PA}{AB}$．

Answer 1

分析 （1）利用弦切角定理及等腰三角形的性质，即可证明：∠PAC=∠ACR；
（2）证明△PAC∽△ABR，即可证明$\frac{PC}{AR}$=$\frac{PA}{AB}$．

解答 证明：（1）∵过点P作⊙O的切线PA，A为切点，
∴∠PAC=∠ARC，
∵AC=AR，
∴∠ACR=∠ARC，
∴∠PAC=∠ACR；
（2）作出直径AB，连接RB，则∠ARB=∠ACB=90°，
∵∠PAC=∠ACR=∠ABR
∴△PAC∽△ABR，
∴$\frac{PC}{AR}$=$\frac{PA}{AB}$．

点评 本题考查弦切角定理及等腰三角形的性质，考查三角形相似的判定与性质，属于中档题．