Question

3．已知函数f（x）=x³+ax²+bx在x=-1与x=2处都取得极值．
（Ⅰ）求a，b的值及函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x∈[-2，3]时，f（x）＜m恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f′（x）并令其=0得到方程，把x=-1和x=2代入求出a、b即可；
（Ⅱ）求出函数的最大值为f（-1），要使不等式恒成立，既要f（-1）＜m，即可求出m的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²+2ax+b，
由题意：$\left\{\begin{array}{l}{f′（-1）=0}\\{f′（2）=0}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{3-2a+b=0}\\{12+4a+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=-6}\end{array}\right.$，
∴f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²-6x+c，f′（x）=3x²-3x-6，
令f′（x）＜0，解得-1＜x＜2；
令f′（x）＞0，解得x＜-1或x＞2，
∴f（x）的减区间为（-1，2）；增区间为（-∞，-1），（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在（-∞，-1）上单调递增；
在（-1，2）上单调递减；在（2，+∞）上单调递增．
∴x∈[-2，3]时，f（x）的最大值即为f（-1）与f（3）中的较大者，
而f（-1）=$\frac{7}{2}$＞f（3）=-$\frac{9}{2}$，
∴当x=-1时，f（x）取得最大值．
要使f（x）＜m恒成立，只需m＞$\frac{7}{2}$即可．

点评 考查学生利用导数求函数极值的能力，利用导数研究函数单调性的能力，是一道中档题．