Question

14．已知复数z满足z（1+2i）=5i（i为虚数单位）．
（1）求复数z，以及复数z的实部与虚部；
（2）求复数$\overline{z}$+$\frac{5}{z}$的模．

Answer 1

分析 （1）由z（1+2i）=5i，则$z=\frac{5i}{1+2i}$，利用复数代数形式的乘除运算进行化简，即可求出答案；
（2）由z=2+i，则$\overline{z}=2-i$，把$\overline{z}$代入$\overline{z}$+$\frac{5}{z}$，利用复数代数形式的乘除运算进行化简，再由复数模的公式计算即可．

解答 解：（1）由z（1+2i）=5i，
则z=$\frac{5i}{1+2i}=\frac{5i（1-2i）}{（1+2i）（1-2i）}=2+i$，
∴复数z的实部为：2，虚部为：1；
（2）由z=2+i，则$\overline{z}=2-i$，
∴$\overline{z}$+$\frac{5}{z}$=$2-i+\frac{5}{2+i}=2-i+\frac{5（2-i）}{（2+i）（2-i）}$=2-i+2-i=4-2i．
∴$|\overline{z}+\frac{5}{z}|=\sqrt{{4}^{2}+（-2）^{2}}=2\sqrt{5}$．
即复数$\overline{z}$+$\frac{5}{z}$的模为：$2\sqrt{5}$．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题．